Question

已知曲线C的方程为x²+ay²=1（a∈R）．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=，求曲线C的方程．

Answer

（1）对a进行讨论，分a＜0，a=0，0＜a＜1，a=1，a＞1时，可得曲线C所表示的轨迹形状；
（2）直线与曲线联立，确定直线l与曲线C必有两个交点，利用韦达定理及|MN|=，即可求曲线C的方程．
【解析】
（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；…（1分）
当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=-1；…（1分）
当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆；  …（1分）
当a=1时，曲线C的轨迹是圆 x2+y2=1；          …（1分）
当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．      …（1分）
（2）由，得（a+1）x2-2ax+a-1=0…①…（2分）
因为a≠-1，所以方程①为一元二次方程，△=4a2-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直线l与曲线C必有两个交点．       …（1分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2为方程①的两根，所以x1+x2=，x1x2=，…（1分）
所以|MN|=|x1-x2|=×=，…（2分）
所以a2+2a-3=0，解得a=1或a=-3．   …（2分）
因此曲线C的方程为x2+y2=1或x2-3y2=1．   …（1分）