Question

已知函数f（x）=|x|•（x-a）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）设函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为m（a），求m（a）的表达式；
（3）若a=4，证明：方程f（x）+=0有两个不同的正数解．

Answer

（1）a=0时，f（x）是奇函数；a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x2-ax=（x-）2-，函数f（x）图象的对称轴为直线x=，利用a的不同取值进行分类讨论，能求出m（a）．
（3）若a=4，则x＞0时，f（x）=，方程可化为．令，h（x）=-x2+4x，在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象，数形结合能证明方程f（x）+=0有两个不同的正数解．
【解析】
（1）∵f（x）=|x|•（x-a）．
∴a=0时，f（x）=|x|x是奇函数；…（2分）
a≠0时，f（x）=|x|•（x-a）既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x2-ax=（x-）2-，
函数f（x）图象的对称轴为直线x=．…（1分）
当，即a＜0时，函数f（x）在[0，2]上是增函数，
所以m（a）=f（0）=0；（1分）
当0，即0≤a≤4时，函数f（x）在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数，
所以m（a）=f（）=-；…（1分）
当，即a＞4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，
所以m（a）=f（2）=4-2a．…（1分）
综上，m（a）=．…（2分）
（3）证明：若a=4，则x＞0时，f（x）=，方程可化为，
即．…（2分）
令，h（x）=-x2+4x，
在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象．…（2分）
因为g（2）=2，h（2）=4，所以h（2）＞g（2），
即当x=2时，
函数h（x）图象上的点在函数g（x）图象点的上方．…（3分）
所以函数g（x）与h（x）的图象在第一象限有两个不同交点．
即方程f（x）+=0有两个不同的正数解．…（1分）