Question

如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值；
（Ⅲ）当M是PA中点时，求二面角M-EF-N的余弦值．

Answer

（1）连接BD，由已知中E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，由线面垂直的性质及三角形中位线定理可得EF⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）连接OM，由线面平行的性质定理，可得PC∥OM，再由平行线分线段成比例定理得到PM：MA的值；
（Ⅲ）由（I）的结论，EF⊥平面PAC，可得EF⊥OM，而在等腰三角形NEF中，由等腰三角形“三线合一”可得NO⊥EF，故∠MON为所求二面角M-EF-N的平面角，解三角形MON即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）连接BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵BD⊥AC，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，
又∵E，F分别是BC、CD的中点，
∴EF∥BD，
∴EF⊥平面PAC，又EF⊂平面NEF，
∴平面PAC⊥平面NEF；（4分）
（Ⅱ）连接OM，
∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，
∴PC∥OM，
∴，故PM：MA=1：3（6分）
（Ⅲ）∵EF⊥平面PAC，OM⊂平面PAC，∴EF⊥OM，
在等腰三角形NEF中，点O为EF的中点，∴NO⊥EF，
∴∠MON为所求二面角M-EF-N的平面角，（8分）
∵点M是PA的中点，∴AM=NC=2，
所以在矩形MNCA中，可求得，，，
（10分）
在△MON中，由余弦定理可求得，
∴二面角M-EF-N的余弦值为．（12分）