Question

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2a_n+1}是“平方数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式．
（3）记，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞4020的n的最小值．

Answer

（1）由条件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2，而由lgbn+1=2lgbn．可得=2．，从而可得{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）由（I）可求lgan，进而可求an，利用对数的运算性质可求lgTn，进而可求Tn
（3）由（2）可求bn=，求出Sn代入不等式Sn＞4020可求n
【解析】
（1）由条件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2．∴{bn}是“平方数列”．
∴lgbn+1=2lgbn．∵lg（2a1+1）=lg5≠0，∴=2．∴{lg（2an+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2an+1）=2n-1⋅lg5，
∴2an+1=，∴an=（）
∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）==（2n-1）lg5．
∴Tn=
（3）bn==
∴＞4020
∴n的最小值为2011．