Question

某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．
（1） 求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2） 用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格______的人数，求X的分布列及数学期望；
（3） 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．

Answer

（1）由题意及所给的频率分布直方图的性质可知第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，测试总人数为（人），第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）；
（2）由于X表示两人中成绩不合格得人数，由题意则X=0，1，2，利用随机变量的定义及二项分布原理可知其分布列，并有符合二项分布的期望公式可求得期望；
（3）由题意利用几何概型的概率公式，设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，利用面积比即可求出．
【解析】
（1）第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴此次测试总人数为（人）．
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．
（2）X=0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为，∴X～.，，．
所求分布列为

X 1 2
P

，
（3）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，
则基本事件满足的区域为矩形ABCD，
而甲比乙投掷远在区域直角三角形BEF中，
并且S矩形ABCD=2×1=2，，
所以甲比乙投掷远的概率为：．