Question

已知如图：平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）记CD=x，V（x）表示四棱锥F-ABCD体积，求V（x）的表达式；
（3）当V（x）取得最大值时，求平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值．

Answer

（1）先根据ADEF是正方形得到G是AE的中点；再结合GH∥AB即可得到GH∥CD进而得到结论；
（2）先根据面面垂直的性质定理得到FA⊥平面ABCD；再求出四棱锥的底面积以及高，最后直接代入体积计算公式即可；
（3）先根据基本不等式求出V（x）取得最大值时对应的x；
解法1：在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM；通过分析得到∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角；求出其正弦值即可；
解法2：以点D为坐标原定，DC所在的直线为x轴建立空间直角，求出个点对应坐标以及两个平面的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式，得到余弦值，进而得到其正弦值．
（1）：连接EA，∵ADEF是正方形
∴G是AE的中点-------（1分）
∴在△EAB中，GH∥AB--（2分） 
又∵AB∥CD，∴GH∥CD，--（3分）
∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE
∴GH∥平面CDE----（4分）
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD  且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD．-----（6分）
∵BD⊥CD，BC=2，CD=x
∴FA=2，（0＜x＜2）
∴S平行四边形ABCD=CD•BD=
∴（0＜x＜2）--（8分）
（3）要使V（x）取得最大值，只须=（0＜x＜2）取得最大值，
∵，当且仅当x2=4-x2，即时 V（x）取得最大值---（10分）
解法1：在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM
∵BC⊥ED
∴BC⊥平面EMD
∴BC⊥EM
∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-------（12分）
∵当V（x）取得最大值时，，
∴，
∴
即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值为．-----------------（14分）
解法2：以点D为坐标原定，DC所在的直线为x轴建立空间直角
坐标系如图示，则D（0，0，0），
∴，，-------（12分）
设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为θ，
平面ECF的法向量
由，得
令c=1得
又∵平面ABCD的法向量为
∴
∴．-------（14分）