Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=．
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的大小．

Answer

（I）连接AC1交A1C于点G，连接DG，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，则AC=GC1，而AD=DB，则DG∥BC1，DG⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，根据线面平行的判定定理可知BC1∥平面A1DC．
（II）过点D作DE⊥AC交AC于E，过点D作DF⊥A1C交A1C于F，连接EF，而平面ABC⊥面平ACC1A1，DE⊂平面ABC，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，
根据面面垂直的性质定理可知DE⊥平ACC1A1，则EF是DF在平面ACC1A1内的射影，则EF⊥A1C，从而∠DFE是二面角D-A1C-A的平面角，在直角三角形ADC中，求出DE、DF，即可求出∠DFE．
（I）证明：连接AC1交A1C于点G，连接DG，
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AC=GC1，
∵AD=DB，
∴DG∥BC1（2分）
∵DG⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC．（4分）
（II）【解析】
过点D作DE⊥AC交AC于E，过点D作DF⊥A1C交A1C于F，连接EF．
∵平面ABC⊥面平ACC1A1，DE⊂平面ABC，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，
∴DE⊥平ACC1A1．
∴EF是DF在平面ACC1A1内的射影．
∴EF⊥A1C，
∴∠DFE是二面角D-A1C-A的平面角，（8分）
在直角三角形ADC中，．
同理可求：．
∴．
∴．
∴．（12分）