Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足：a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）通过公式构造一个新的数列{b_n}．若{b_n}也是等差数列，求非零常数c；
（Ⅲ）求（n∈N^*）的最大值．

Answer

（I）由已知中等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为sn，且满足a2a3=45，a1+a4=14，我们构造出关于首项和公差的方程，解方程求出首项和公差，即可得到数列{an}的通项公式．
（II）根据（1）的结论，可得到sn的表达式，再根据 ，可得数列{bn}的前3项，根据{bn}也是等差数列，构造关于b的方程，即可求出非零常数c的值．
（Ⅲ）=利用基本不等式求得其最大值即可．
【解析】
（Ⅰ）∵数列{an}是等差数列，
∴a2+a3=a1+a4=14．又a2a3=45，
∴，或．（2分）
∵公差d＞0，∴a2=5，a3=9．
∴d=a3-a2=4，a1=a2-d=1．
∴an=a1+（n-1）d=4n-3．（4分）
（Ⅱ）∵，
∴．（6分）
∵数列{bn}是等差数列，
∴2bn+1=bn+bn+2．
∴．
去分母，比较系数，得．（9分）
∴．（10分）
（Ⅲ）=≤．（12分）
当且仅当，即n=5时，f（n）取得最大值．（14分）