Question

已知函数f（x）=mx³-（2+）x²+4x+1，g（x）=mx+5
（Ⅰ）当m≥4时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）是否存在m＜0，使得对任意的x₁，x₂∈[2，3]都有f（x₁）-g（x₂）≤1？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用导数研究函数的单调性．由于参数m决定了与1的大小关系，从而决定导数的正负，因此必须进行分类讨论，通过比较与1的大小，求出函数的单调增区间；
（2）先假设存在，将对任意的x1，x2∈[2，3]都有f（x1）-g（x2）≤1转化为f（x）max-f（x）min≤1，从而得到关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴f′（x）=mx2-（4+m）x+4=（mx-4）（x-1）
1）若m＞4，则，此时都有，
有f′（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为和[[1，+∞）；
2）若m=4，则f′（x）=4（x-1）2≥0，∴f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
（Ⅱ）当m＜0时，且
∴当2≤x≤3时，都有f′（x）＜0
∴此时f（x）在[2，3]上单调递减，∴
又g（x）=mx+5在[2，3]上单调递减，∴g（x）min=g（3）=3m+5
∴，解得，又m＜0，
所以