Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，在数列{b_n}中，b₁=1，它的第n项是数列{a_n}的第b_n-1（n≥2）项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）是否存在常数t使数列{b_n+1}为等比数列？若存在求出t的值，并求出数列{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求证：．

Answer

（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）先确定bn=abn-1=2bn-1+1（n≥2），从而可得bn+1=2（bn-1+1），由此可得结论及数列{bn}的通项公式；
（III）先证明，再求和，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
由已知，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1
n=1时，a1=S1=3，也满足上式
∴an=2n+1
（Ⅱ）【解析】
由已知bn=abn-1=2bn-1+1（n≥2）
∴bn+1=2（bn-1+1）
∴{bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴存在实数t=1使数列{bn+1}为等比数列，且bn+1=2n，
∴bn=2n-1
（III）证明：∵bn+1-2bn=2n+1-1-2（2n-1）=1＞0，∴bn+1＞2bn，
∵bn=2n-1≥1，∴
∴Tn==
即Tn＜
∴Tn＜=2-