Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2S_n+1，且a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）先求Sn，再借助项与和关系an=Sn-Sn-1，可确定数列的通项；
（2）利用错位相减法，可求数列的和．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn+1=2Sn+1，
∴Sn+1+1=2（Sn+1），
∴数列{Sn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴Sn+1=2×2n-1
∴Sn=2n-1
∴an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）
n=1时，a1=1也满足上式，
∴an=2n-1；
（Ⅱ）数列{nan}的前n项和Tn=1×2+2×21+…+n×2n-1，①
2Tn=1×21+2×22+…+n×2n，②
①-②整理得Tn=（n-1）2n+1