Question

已知函数h（x）=ln（ax+b）在点M（1，h（1））处的切线方程为x-2y+ln4-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）=，求函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）求m的取值范围，使不等式对任意的n∈N^*都成立（其中e是自然对数的底数）．

Answer

（Ⅰ）求导函数，根据函数h（x）=ln（ax+b）在点M（1，h（1））处的切线方程为x-2y+ln4-1=0，h（1）=ln2，即可
求a，b的值；
（Ⅱ）求导函数f′（x）=，设g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，则g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，则φ′（x）=，可得φ（x）在x=0处取得极大值，从而可得函数g（x）在（-1，+∞）上为减函数，于是当-1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜g（0）=0，由此可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）不等式等价于（n+m）ln（1+≤1，分离参数可得m≤，设G（x）=，利用导数法可求G（x）在（0，1]上的最小值，即可求得m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）求导函数可得
∵函数h（x）=ln（ax+b）在点M（1，h（1））处的切线方程为x-2y+ln4-1=0
∴
∵h（1）=ln2
∴ln（a+b）=ln2
∴a=1，b=1；
（Ⅱ）若f（x）=，定义域为（-1，+∞）
f′（x）=
设g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，则g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，则φ′（x）=
当-1＜x＜0时，φ′（x）＞0，φ（x）在（-1，0）上为增函数；当x＞0时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，+∞）上为减函数
∴φ（x）在x=0处取得极大值，而φ（0）=0，所以g′（x）＜0（x≠0）
∴函数g（x）在（-1，+∞）上为减函数
于是当-1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜g（0）=0
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上为减函数
∴函数f（x）的单调增区间为（-1，0），单调减区间为（0，+∞）．
（Ⅲ）不等式等价于（n+m）ln（1+≤1，由1+＞1，知m≤
设G（x）=，则G′（x）=
∵ln2（1+x）-≤0，∴（1+x）ln2（1+x）-x2≤0
∴G′（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上为减函数
∴G（x）在（0，1]上的最小值为G（1）=
∴m的取值范围为（-∞，]．