Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，又cosA=．
（1）求cos²+cos2A+的值．
（2）若b=2，△ABC的面积S=3，求a的值．

Answer

（1）利用二倍角的余弦函数公式化简所求式子的前两项，将cosA的值代入即可求出值；
（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由S及b的值，利用三角形的面积公式求出c的值，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．
【解析】
（1）∵cosA=，
∴cos2+cos2A+=（1+cosA）+2cos2A-1+
=cosA+2cos2A=×+2×=；
（2）∵cosA=，且A为三角形的内角，
∴sinA==，又S=3，b=2，
∴S=bc•sinA=c=3，解得：c=5，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5×=13，
∴a=．