Question

如图1，在正三角形ABC中，AB=3，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，AE=CF=CP=1．将△AFE沿折起到△A₁EF的位置，使平面A₁EF与平面BCFE垂直，连接A₁B、A₁P（如图2）．
（1）求证：PF∥平面A₁EB；
（2）求证：平面BCFE⊥平面A₁EB；
（3）求四棱锥A₁-BPFE的体积．

Answer

（1）证明PF∥平面A1EB，利用线面平行的判定定理，证明PF∥BE即可；
（2）证明平面BCFE⊥平面A1EB．利用面面垂直的判定定理，证明EF⊥平面A1EB即可；
（3）证明A1E⊥平面BCFE，即可求四棱锥A1-BPFE的体积．
（1）证明：∵CF=CP=x，CA=CB，∴PF∥BE
∵PF⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE
∴PF∥平面A1EB；
（2）证明：∵AE=1，AF=2，∠A=60°
∴EF=，∴EF⊥A1E，EF⊥BE
∵A1E∩BE=E
∴EF⊥平面A1EB
∵EF⊂平面BCFE
∴平面BCFE⊥平面A1EB；
（3）∵平面A1EF与平面BCFE垂直，EF⊥A1E，平面A1EF与平面BCFE的交线为EF
∴A1E⊥平面BCFE
∵
∵A1E=1
∴VA1-BPFE=××1=