Question

已知函数f（x）=lnx的图象是曲线C，点是曲线C上的一系列点，曲线C在点A_n（a_n，f（a_n））处的切线与y轴交于点B_n（0，b_n），若数列{b_n}是公差为2的等差数列，且f（a₁）=3．
（1）分别求出数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）设O为坐标原点，S_n表示△A_nB_n的面积，求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）求导函数，确定曲线C在点An（an，f（an））处的切线方程，令x=0，可得bn=lnan-1，利用数列{bn}是公差为2的等差数列，可得，根据f（a1）=3，可得a1=e3，由此即可求得数列的通项；
（2）Sn=×bn×an=n×e2n+1，Tn=1×e3+2×e5+…+n×e2n+1，利用错位相减法即可求和．
【解析】
（1）求导函数可得f′（x）=，则曲线C在点An（an，f（an））处的切线方程为y-lnan=（x-an）
令x=0，则y-lnan=-1，∴bn=lnan-1
∴bn+1-bn=lnan+1-1-lnan+1=2
∴
∵f（a1）=3，
∴ln（a1）=3，
∴a1=e3，
∴an=e2n+1
∴bn=lnan-1=2n；
（2）Sn=×bn×an=n×e2n+1
∴Tn=1×e3+2×e5+…+n×e2n+1①
∴e2Tn=1×e5+2×e7+…+（n-1）×e2n+1+n×e2n+3②
①-②可得Tn-e2Tn=1×e3+1×e5+…+1×e2n+1-n×e2n+3
∴Tn=