Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．
（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；
（Ⅱ）若，，，求λ₂的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题设知，设A（x1，y1），则y12=2px，圆心，然后分别求出圆心到y轴的距离和圆半径，由此能够证明以线段FA为直径的圆与y轴相切．
（Ⅱ）设设P（0，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由，，得，，所以y22=λ22y12，x2=λ22x1，代入，得，代入，，再由，能求出λ2的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题设知，设A（x1，y1），则y12=2px，
圆心，
圆心到y轴的距离是，
圆半径为，
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．
（Ⅱ）设P（0，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由，，
得，，
∴，y1=λ1（y-y1），
，y2=-λ2y1，
∴y22=λ22y12，
∵y12=2px1，y22=2px2．
∴x2=λ22x1，
代入，
得，，
整理，得，
代入，得，
∴，
∵，
∴λ2的取值范围[]．