Question

已知函数f（x）=的图象过点（-1，2），且在处取得极值．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．

Answer

（Ⅰ）因为函数f（x）=的图象过点（-1，2），可把（-1，2）点坐标代入，得到一个关于b，c的等式，再因为函数在处取得极值，所以函数在处的导数为0，由此又得到一个关于b，c的等式，两个等式联立，就可解出b，c．
（Ⅱ）利用导数求最大值，因为f（x）为分段函数，所以可按x的范围，分段求导数，找到极大值，再比较区间
[-1，e]上的极大值与端点函数值的大小，找到最大值．
【解析】
（Ⅰ）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x+b，
由题意得：，即，
解得：b=c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=
①当-1≤x＜1时，f′（x）=-x（3x-2），
解f′（x）＞0得0＜x＜；解f′（x）＜0得-1＜x＜0或＜x＜1
∴f（x）在（-1，0）和上单减，在（0，）上单增，
由f′（x）=-x（3x-2）=0得：x=0或x=，
∵f（-1）=2，f（）=．f（0）=0，f（1）=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．
②当1≤x≤e时，f′（x）=alnx，
当a≤0时，f′（x）≤0；
当a＞时，f（x）在[1，e]单调递增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．
∴当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a； 
当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．