Question

设x，y∈R，，为直角坐标平面内x，y轴正方向上单位向量，若向量，，且．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线L与曲线C交于A、B两点，若，求证直线L与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．

Answer

（1）由题意，可得点M（x，y）到两个定点F1（，0），F2（，0）的距离之和为，从而点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，故可得方程；
（2）当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及x1•x2+y1•y2=0，可得直线L与圆x2+y2=2相切；当直线的斜率不存在时，可得直线为，与圆x2+y2=2相切．
（1）【解析】
∵，，且．
∴点M（x，y）到两个定点F1（，0），F2（，0）的距离之和为
∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，其方程为（5分）
（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与椭圆的方程，得
消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以16k2m2-4（1+2k2）（2m2-6）＞0，所以m2＜6k2+3（﹡）
，（7分）
y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=
∵，∴x1•x2+y1•y2=0
∴=0
∴m2=2k2+2满足（﹡）式，并且，即原点到直线L的距离是，
∴直线L与圆x2+y2=2相切．（10分）
当直线的斜率不存在时，直线为x=m，
∴A（m，），B（m，-），
∵，∴x1•x2+y1•y2=0
∴，，直线L的方程是，
∴直线L与圆x2+y2=2相切．
综合之得：直线L与圆x2+y2=2相切．（12分）