Question

设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）e^-x在点B（x，y₂）处的切线为l₂．若存在，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为    ．

Answer

根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．
【解析】
函数y=（ax-1）ex的导数为y′=（ax+a-1）ex，
∴l1的斜率为，
函数y=（1-x）e-x的导数为y′=（x-2）e-x
∴l2的斜率为，
由题设有k1•k2=-1从而有
∴a（x2-x-2）=x-3
∵得到x2-x-2≠0，所以，
又，另导数大于0得1＜x＜5，
故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，
x=0时取得最大值为=；
x=1时取得最小值为1．
∴
故答案为：