Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足：，n∈N^*，且a₁=2，a₂=4．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）设c_n=a_2n-1+a_2n+1，n∈N^*，证明：{c_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_k=a₂+a₄+…+a_2k，k∈N^*，证明：．

Answer

（Ⅰ）要求a3，a4，a5的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．
（Ⅱ）化简出a2n-1+a2n+1，a2n+1+a2n+3的关系，即：cn+1与cn的关系，从而证明{cn}是等比数列；就是利用（Ⅰ）的，用2n-1，2n，2n+1，替换中的n，化简出只含“an”的关系式，就是a2n-1+a2n+2a2n+1=0，①2a2n+a2n+1+a2n+2=0，②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0，③然后推出a2n+1+a2n+3=-（a2n-1+a2n+1），得到cn+1=-cn（n∈N*），从而证明{cn}是等比数列；
（Ⅲ）先研究通项公式a2k，推出Sk的表达式，然后计算，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据a2k-1+a2k+1=（-1）k，对任意k∈N*且k≥2，列出n个表达式，利用累加法求出a2k=（-1）k+1（k+3）．化简
S2k=（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a4k-2+a4k）=-k，k∈N*，，通过裂项法以及放缩法证明：．
20、满分14分．
（I）【解析】
由，
可得
又bnan+an+1+bn+1an+2=0，
（II）证明：对任意n∈N*，a2n-1+a2n+2a2n+1=0，①2a2n+a2n+1+a2n+2=0，②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0，③
②-③，得a2n=a2n+3．④
将④代入①，可得a2n+1+a2n+3=-（a2n-1+a2n+1）
即cn+1=-cn（n∈N*）
又c1=a1+a3=-1，故cn≠0，
因此是等比数列．
（III）证明：由（II）可得a2k-1+a2k+1=（-1）k，
于是，对任意k∈N*且k≥2，有
将以上各式相加，得a1+（-1）ka2k-1=-（k-1），
即a2k-1=（-1）k+1（k+1），
此式当k=1时也成立．由④式得a2k=（-1）k+1（k+3）．
从而S2k=（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a4k-2+a4k）=-k，S2k-1=S2k-a4k=k+3．
所以，对任意n∈N*，n≥2，====
对于n=1，不等式显然成立．