Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，则方程f（x）-f′（x）=2的解所在的区间是（ ）
A．（0，）
B．（，1）
C．（1，2）
D．（2，3）

Answer

根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）-log2x为定值，可以设t=f（x）-log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）-f′（x）=2，变形化简可得log2x-=0，令h（x）=log2x-，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．
【解析】
根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log2x为定值，
设t=f（x）-log2x，则f（x）=log2x+t，
又由f（t）=3，即log2t+t=3，
解可得，t=2；
则f（x）=log2x+2，f′（x）=，
将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）-f′（x）=2，
可得log2x+2-=2，
即log2x-=0，
令h（x）=log2x-，
分析易得h（1）=＜0，h（2）=1-＞0，
则h（x）=log2x-的零点在（1，2）之间，
则方程log2x-=0，即f（x）-f′（x）=2的根在（1，2）上，
故选C．