Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-1（n∈N₊）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=，数列{b_n}的前n项和T_n，求证：≤T_n＜1．

Answer

（1）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可求得数列的通项；
（2）确定数列的通项，利用叠加法求和，证明是递增数列，即可证得结论．
（1）【解析】
当n=1时，a1=S1=2a1-1，∴a1=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2an-1）-（2an-1-1），∴an=2an-1
∴数列{an}是首项为a1=1，公比为2的等比数列，
∴数列{an}的通项公式是an=2n-1；
（2）证明：bn==2（-）
∴Tn=b1+b2+…+bn=2[（-）+（-）+…+（-）]=2（）＜1
∵Tn+1-Tn=bn+1=＞0
∴数列{Tn}是递增数列
∵T1=
∴≤Tn＜1