Question

设点E、F分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点E垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于A、B两点，△ABF是正三角形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过定点D（-，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，且满足，O是坐标原点．当△OPQ的面积最大时，求椭圆的方程．

Answer

（1）设椭圆的半焦距为c，则 直线AB的方程为x=-c，将x=-c代入椭圆方程，求得|AB|=，|EF|=2c，根据△ABF是正三角形，可得，从而可求椭圆的离心率；
（2）由（1）知可得椭圆的方程为2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，利用韦达定理及确定P，Q坐标之间的关系，表示出面积，利用基本不等式求出S△OPQ的最大值，即可得到椭圆的方程．
【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c，则 直线AB的方程为x=-c，将x=-c代入椭圆方程=1，注意到c2=a2-b2，解得y=±，所以|AB|=，|EF|=2c
∵△ABF是正三角形，∴
∴
∵，b2=a2-c2，
∴e2+2e-=0
∴或（舍去）
故所求椭圆的离心率为
（2）由（1）知，a2=3c2，b2=2c2，∴椭圆的方程为2x2+3y2=6c2，①
显然，直线l的斜率不为0
若直线l与x轴垂直，此时P，Q关于x轴对称，，不合题意；
因此，可设直线l的方程为y=k（x+）②，
将②代入①中整理得（3k2+2）x2+6k2x+9k2-6c2=0
因为直线l与椭圆交于P，Q两点，所以△=24（3k2c2-3k2+2c2）＞0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-④，x1x2=⑤
由得（x1+，y1）=2（--x2，-y2），∴⑥
由④⑥得，⑦
∴S△OPQ=|y1-y2|=|x1-x2|=18×=18×≤
当且仅当3|k|=，即k2=时，等号成立
∴k2=时，S△OPQ取得最大值
由⑦求得x1=，x2=-2，代入⑤，求得c2=5，满足③
故所求椭圆的方程为2x2+3y2=30，即