Question

已知函数f（x）=e^kx•sinx，x∈（）．
（1）当k=-时，求函数f（x）的极大值；
（2）若函数f（x）有极大值，求实数k的取值范围．

Answer

（1）当k=-时，f′（x）=cosx（1-tanx），利用导数的正负取得函数的单调性，即可确定函数的极大值；
（2）求导函数，再分类讨论：①当|k|≤1时，|ktanx|＜1，可得当x∈（）时，f′（x）＞0恒成立，函数没有极值；②当k＞1时，-k＜ktanx＜k，-1∈（-k，k），函数没有极大值；③k＜-1时，k＜ktanx＜-k，-1∈（k，-k），函数取得极大值，由此可得结论．
【解析】
求导函数，可得f′（x）=ekxcosx（1+ktanx）
（1）当k=-时，f′（x）=cosx（1-tanx）
∵x∈（），∴cosx＞0
令f′（x）=0，得tanx=，所以x=
当x∈（）时，f′（x）＞0；当x∈（）时，f′（x）＜0；
∴x=时，函数f（x）取得极大值为；
（2）f′（x）=ekxcosx（1+ktanx）
∵x∈（），∴ekxcosx＞0，-1＜tanx＜1
①当|k|≤1时，|ktanx|＜1，∴当x∈（）时，f′（x）＞0恒成立，函数没有极值；
②当k＞1时，-k＜ktanx＜k，-1∈（-k，k）
∴ktanx=-1，x∈（）有解
设为α，因为ktanx单调递增，所以当x∈（）时，f′（x）＜0；当x∈（）时，f′（x）＞0，
∴函数没有极大值
③k＜-1时，k＜ktanx＜-k，-1∈（k，-k）
∴ktanx=-1，x∈（）有解
设为β，因为ktanx单调递减，所以当x∈（）时，f′（x）＞0；当x∈（）时，f′（x）＜0，
∴函数在β处取得极大值
综上所述，函数f（x）有极大值，实数k的取值范围是（-∞，-1）