Question

在△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且|AB|²=|AD|²+|BD|•|DC|，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

Answer

过A作AO垂直于BC，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设出A（0，a），B（b，0），C（c，0），d（d，0），利用两点间的距离公式表示出|AB|，|AD|，|BD|，|DC|，代入已知的等式中，整理后根据D与B不重合得到d不等于b，在等式两边同时除以d-b，得到b+c=0，即b=-c，可得出B与C关于y轴对称，可得出AB=AC，即三角形ABC为等腰三角形．
【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示：

过A作AO⊥BC，交BC于点O，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0），
∵|AB|2=|AD|2+|BD|•|DC|，
∴a2+b2=a2+d2+（d-b）（c-d），即d2-b2+（d-b）（c-d）=0，
∴（d+b）（d-b）+（d-b）（c-d）=0，即（d-b）（b+c）=0，
∵D与B不重合，∴d≠b，即d-b≠0，
∴b+c=0，即b=-c，
∴B与C关于y轴对称，
∴AB=AC，
则△ABC为等腰三角形．
故选C