Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，DB∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点．
（1）求证：EF⊥平面BCD；
（2）求多面体ABCDE的体积；
（3）求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．

Answer

（1）取BC中点G，连FG，AG．根据AE⊥面ABC，BD∥AE，可得BD⊥面ABC，从而BD⊥AG．进而可证AG⊥平面BCD．又可证四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，故EF⊥面BCD．
（2）设AB中点为H，则根据AE⊥面ABC，可得平面ABDE⊥平面ABC．所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C-ABDE的高．从而可求四棱锥C-ABDE的体积．
（3）利用坐标表示点与向量，确定设平面CEF的法向量，平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
【解析】
（1）取BC中点G点，连接AG，FG，如图1
因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AG⊂面ABC，所以BD⊥AG．
又AC=AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG⊥平面BCD．
又因为F是CD的中点且BD=2，所以FG∥BD且FG=1，所以FG∥AE．
又AE=1，所以AE=FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD
（2）设AB中点为H，则由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且CH=，如图2
又BD∥AE，所以BD与AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C-ABDE的高．
故四棱锥C-ABDE的体积为VC-ABDE=SABDE•CH=．…（8分）
（3）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则C（），E（0，-，1），F（），∴，
设平面CEF的法向量为，由，，得
平面ABC的法向量为=（0，0，1）
∴cos==
∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．