Question

已知椭圆（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率小于零的直线过点D（1，0）与椭圆交于M，N两点，若求直线MN的方程；
（3）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，可得，利用原点到直线的距离，建立方程，即可求得椭圆的方程；
（2）设MN：x=ty+1（t＜0）代入，利用韦达定理及，即可求得直线MN的方程；
（3）将y=kx+2代入，利用韦达定理及PQ为直径的圆过D（1，0），建立方程，即可求得结论．
【解析】
（1）由点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，可得，
∵，得a=，b=1，
∴椭圆方程是：   （3分）
（2）设MN：x=ty+1（t＜0）代入，得（t2+3）y2+2ty-2=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得y1=-2y2．
由y1+y2=-y2=-，y1y2=    （6分）
得-2=，∴t=-1，t=1（舍去）
直线MN的方程为：x=-y+1即x+y-1=0    （8分）
（3）将y=kx+2代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*）
记P（x3，y3），Q（x4，y4），PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即（x3-1）（x4-1）+y3y4=0，
又y3=kx3+2，y4=kx4+2，得（k2+1）x3x4+（2k-1）（x3+x4）+5=0       ①
又x3+x4=-，x3x4=，代入①解得k=-   （11分）
此时（*）方程△＞0，∴存在k=-，满足题设条件．      （12分）