Question

已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为    ．

Answer

根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EFHA故四边形AEFH为平行四边形所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角然后再利用余弦定理求∠HFG得余弦值即可．

【解析】
由于正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等故不妨设棱长为a
取SC的中点F连接EF则EF∥BC，取AD的中点H连接HF则可得EFHA故四边形AEFH为平行四边形所以AE∥HF
再取DC中点G连接HG则FG∥SD所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角
∵HF=AE=a，FG=a，HG=
∴cos=＞0
即AE、SD所成的角的余弦值为