Question

设数列{a_n}的前n项和为，已知a₁=1，，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，数列{b_n}的前项和为T_n，n∈N^*证明：T_n＜2．

Answer

（Ⅰ）由，得当n≥2时，Sn=2Sn-1+n，两式相减得，an+1=2an+1，构造等比数列{an+1}并求其通项公式，再求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）bn===，利用错位相消法求和．
【解析】
（Ⅰ）∵
当n≥2时，Sn=2Sn-1+n，两式相减得，
an+1=2an+1，两边加上1得出an+1+1=2（an+1），
又S2=2S1+1，a1=S1=1，∴a2=3，a2+1=2（a1+1）
所以数列{an+1}是公比为2的等比数列，首项a1+1=2，
数列{an+1}的通项公式为an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1  
（Ⅱ）∵an=2n-1，
∴bn===
Tn=
Tn=
两式相减得Tn=
Tn=2（）=2＜2．