Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R）
（I）若当x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（II）求函数的单调区间．

Answer

（I）先求出导函数．再由f′（x）＞0恒成立，分离参数得a＜lnx++1（x≥1）恒成立，令h（x）=lnx++1，利用导数研究其最值，从而解决问题；
（II）先写出函数g（x）的解析式，再求出导数g′（x）=，下面对a进行分类讨论：当a≥1时，当a＜1时，结合导数工具研究其单调区间即可．
【解析】
x＞0，f′（x）=lnx+-a．
（I）f′（x）＞0恒成立，即a＜lnx++1（x≥1）恒成立，
令h（x）=lnx++1，则h′（x）=≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，h（x）最小值=h（1）=2，
故a＜2．
（II）g（x）=f′（x）-=lnx+-a-=lnx++1-a，
g′（x）=，
当a≥1时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上递增；
当a＜1时，g′（x）=0，得x=1-a，
x∈（0，1-a）时，g′（x）＜0函数g（x）在（0，+∞）上递减；
x∈（1-a，+∞）时，g′（x）＞0函数g（x）在（0，+∞）上递增；
故函数的单调区间为：
当a≥1时，函数g（x）递增区间为：（0，+∞）；
当a＜1时，函数g（x）递增区间为：（1-a，+∞）；函数g（x）递减区间为：（0，1-a）．