Question

A．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
B．已知矩阵A=．
（1）求逆矩阵A^-1；
（2）若矩阵X满足，试求矩阵X．
C．坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C₁：ρcos（θ+）=2与曲线C₂：
，（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均为正数，求证：．

Answer

A、证明△PDF∽△POC，由于有公共角∠P，证明∠PFD=∠OCP即可；
B．（1）设A-1=，利用A-1A=E，即可求得；（2）利用（1）的逆矩阵可求；
C、先将极坐标方程化为普通方程，再将这两个方程联立，消去x，得y2-4y-16=0，再由韦达定理研究；
D、利用基本不等式证明，，，即可证得结论．
A、证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
∴∠PFD=∠OCP
在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PFD=∠OCP，∴△PDF∽△POC；
B．【解析】
（1）设A-1=，则==．
∴，解得，∴A-1=．
（2）．
C．证明：曲线C1的直角坐标方程x-y=4，曲线C2的直角坐标方程是抛物线y2=4x，
设A（x1，y1），B（x2，y2），将这两个方程联立，消去x，得y2-4y-16=0
∴y1y2=-16，y1+y2=4，
∴x1x2+y1y2=（y1+4）（y2+4）+y1y2=2y1y2+4（y1+y2）+16=0
∴，∴OA⊥OB
D． 证明：因为x，y，z都是为正数，所以
同理可得，，当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得