Question

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

Answer

（1）通过x=1直接求出a，通过x=2即可求出的表达式；
（2）通过比较n=1，2，3，4，5时Sn与（n-2）2n+2n2的大小，猜想出二者的大小，利用数学归纳法假设n=k时成立，证明n=k+1时猜想也成立即可．
【解析】
（1）令x=1，则a=2n，令x=2，
则，∴Sn=3n-2n；----------------------（3分）
（2）要比较Sn与（n-2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n-1）2n+2n2的大小，
当n=1时，3n＞（n-1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n-1）2n+2n2；
当n=4，5时，3n＞（n-1）2n+2n2；-----------------------------------（5分）
猜想：当n≥4时n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，
假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3n＞（n-1）2n+2n2，
两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2]
而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-2）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞[（k+1）-1]2k+1+2（k+1）2
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2成立．
综上得，当n=1时，3n＞（n-1）2n+2n2；
当n=2，3时，3n＜（n-1）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，3n＞（n-1）2n+2n2--（10分）