Question

已知椭圆（a＞b＞0）经过点M（），它的焦距为2，它的左、右顶点分别为A₁，A₂，P₁是该椭圆上的一个动点（非顶点），点P₂ 是点P₁关于x轴的对称点，直线A₁P₁与A₂P₂相交于点E．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）求点E的轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）先确定焦点坐标，再利用椭圆（a＞b＞0）经过点M（），即可求椭圆标准方程；
（Ⅱ）利用参数法求点E的轨迹方程．求出A1P1的方程、A2P2的方程，再利用点P1（x1，y1）在椭圆上，即可求得点E（x，y）的轨迹方程．
【解析】
（Ⅰ）由题意，2c=2得c=1，…（1分），F1（-1，0），F2（1，0）
∵椭圆（a＞b＞0）经过点M（），
∴|MF1|+|MF2|=2a，∴a=3…（3分），
∴b2=a2-c2=8
∴所求椭圆标准方程为…（5分）  
（Ⅱ）A1（-3，0），A2（3，0），设P1（x1，y1），P2（x2，-y2），（x1≠0，|x1|＜3）
A1P1的方程：…①，A2P2的方程：…②…（7分）
①×②得…③，
因为点P1（x1，y1）在椭圆上，
所以即代入③得，
又P1（x1，y1），P2（x2，-y2）是椭圆上非顶点，知x≠±3，所以点E（x，y）的轨迹方程（x≠±3）