Question

定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x都有f（x-1）=f（4-x）且，则f（2012）-f（2010）等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

Answer

根据题意，由f（x-1）=f（4-x）可得f（x）=f（3-x），结合函数是奇函数可得f（x）=f（6+x），即f（x）是周期为6的函数，由此可得f（2012）-f（2010）=f（2）-f（0），在f（x）=f（3-x）中，令x=2可得f（2）=f（1），结合题意，可得f（2）的值，代入f（2012）-f（2010）=f（2）-f（0）中，即可得答案．
【解析】
由f（x-1）=f（4-x）可得f（x）=f（3-x），
又由f（x）在R上是奇函数，即f（-x）=-f（x），f（0）=0，
有f（x）=-f（-x）=-f（3+x）=f（6+x），则f（x）是周期为6的函数，
f（2012）-f（2010）=f（2）-f（0），
又由f（x）=f（3-x），则f（2）=f（3-2）=f（1）=1，
故f（2012）-f（2010）=f（2）-f（0）=1-0=1，
故选C．