Question

如图，在五面体中，平面ABCD⊥平面BFEC，Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE为全等直角三角形，AB=AD=FB=FE=1，斜边AC=FC=2．
（Ⅰ）证明：AF∥DE；
（Ⅱ）求棱锥D-BCEF的体积．

Answer

（1）由题设知AB⊥BC，FB⊥BC，sin∠ACB=，故∠ACB=30°，∠DCB=60°，作DM⊥BC于M点，连接EM，证明△DMC≌△EMC，由此能够推导出AF∥DE．
（2）由平面ABCD⊥平面BFEC，DM⊥BC，知DM⊥平面BCEF，由DC=BC=，知DM=DC•sin=，由此能求出棱锥D-BCEF的体积．
【解析】
（1）∵在五面体中，平面ABCD⊥平面BFEC，
Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE为全等直角三角形，
AB=AD=FB=FE=1，斜边AC=FC=2，
∴AB⊥BC，FB⊥BC，sin∠ACB=，
∴∠ACB=30°，∠DCB=60°，
如图，作DM⊥BC于M点，连接EM，
在△DMC和△EMC中，∠MCD=∠MCE=60°，
CD=CE，CM=CM，
∴△DMC≌△EMC，∴∠DMC=∠EMC=90°，
故EM⊥BC，
∴EM∥BF，DM∥AB，∴面DEM∥面ABF，
面ADEF∩面ABF=AF，
面ADEF∩面DEM=DE，
∴AF∥DE．
（2）∵平面ABCD⊥平面BFEC，DM⊥BC，
∴DM⊥平面BCEF，
∵DC=BC=，
∴DM=DC•sin=，
∴S四边形BCEF=2S△ABC=2×=2×=，
∴棱锥D-BCEF的体积V=×．