Question

已知椭圆的离心率，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆D经过坐标原点．证明：圆D的半径为定值．

Answer

（1）根据椭圆的离心率，可得a2=4b2，利用椭圆过点，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=-y2，从而可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率为0时，由椭圆的对称性可知x1=-x2，y1=y2，可求原点O到直线的距离，由此可知圆D的半径为定值．
（1）【解析】
∵椭圆的离心率
∴，∴a2=4b2
∴椭圆C的方程为
∵椭圆过点
∴
∴b2=1，a2=4
∴椭圆C的标准方程为
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=-y2，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x1x2+y1y2=0，∴
∵，∴
∴原点O到直线的距离为
②当直线AB斜率为0时，由椭圆的对称性可知x1=-x2，y1=y2，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x1x2+y1y2=0，∴
∵，∴
∴原点O到直线的距离为
综上知，圆D的半径为定值．