Question

已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当函数的最大值为时，求k的值．

Answer

（1）确定函数定义域为（0，+∞），求导函数，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；
（2）求导函数g′（x）=，令u（x）=lnx+x-xlnx，求导函数u′（x）=-lnx，可得x∈[e，3]时，lnx+x-xlnx＞0，对k讨论，利用函数g（x）的最大值为，即可求得k的值．
【解析】
（1）由题意知函数定义域为（0，+∞），f′（x）=k（1+lnx）；
当k=0时，f（x）=0，所以函数无单调区间；
当k＞0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则x＞，所以函数f（x）在（0，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增；
当k＜0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则0＜x＜，所以函数f（x）在（0，]上单调递增，在[，+∞）上单调递减；
（2）因为，所以g′（x）=
令u（x）=lnx+x-xlnx，所以u′（x）=-lnx
∵x∈[e，3]，∴lnx≥1，，∴u′（x）＜0，即u（x）为减函数，可得u（x）min=u（3）=3-3ln3=ln＞0
∴x∈[e，3]时，lnx+x-xlnx＞0
当k＞0时，g′（x）＞0，可得g（x）在x∈[e，3]时为增函数，g（x）max=g（3）=，所以k=；
当k=0时，g（x）的最大值是0，不合题意；
当k＜0时，g′（x）＜0，g（x）在x∈[e，3]上为减函数，g（x）的最大值是0，不合题意
故当函数g（x）的最大值为时，k的值为．