Question

已知关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥2a．
（I）若a=1，求不等式的解集；
（II）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer

（I）若a=1，不等式即|x-2|+|x-1|≥2，由绝对值的意义可得而 对应点到1对应点的距离加上到2对应点的距离正好等于2，对应点到1对应点的距离加上到2对应点的距离也正好等于2，由此求得不等式的解集．
（II）若不等式的解集为R，则 2a小于或等于|x-2|+|x-a|的最小值．而由绝对值的意义可得|x-2|+|x-1|的最小值为|a-2|，故有|a-2|≥2a，由此求得实数a的取值范围．
【解析】
（I）若a=1，不等式即|x-2|+|x-1|≥2，而|x-2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离加上x对应点到2对应点的距离，
而 对应点到1对应点的距离加上到2对应点的距离正好等于2，对应点到1对应点的距离加上到2对应点的距离也正好等于2，
故不等式的解集为{x|x≤，或 x≥ }．（5分）
（II）若不等式的解集为R，则 2a小于或等于|x-2|+|x-a|的最小值，由上可得|x-2|+|x-1|的最小值为|a-2|，
∴|a-2|≥2a，∴a-2≥2a，或 a-2≤-2a．
解得 a≤-2，或 a≤．
∴实数a的取值范围为（-∞，]．      （10分）