Question

从2003年开始，我国就通过实行高校自主招生探索人才选拔制度改革，允许部分高校拿出一定比例的招生名额，选拔哪些有特殊才能的学生．某学生参加一个高校的自主招生考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A，B两个题目，该学生答对A，B两题的概率分别为，两题全部答对方可进入面试．面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对两个问题的概率均为，至少答对一题即可被录取．（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相对独立的）．
（I）求该学生被学校录取的概率；
（II）设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（I）由题意记”答对A，B，甲，乙各题分别为事件A，B，C，D，由于事件之间为独立事件，故该学生被公司聘用的概率为：P（A•B）[1-P（）P（）]，利用独立事件的公式即可算得；
（II）由题意由于随机变量ξ表示该学生答对题目的个数，由题意可得ξ的可能结果为：0，1，2，3，4，利用随机变量的定义及独立事件的概率公式借助于随机变量的定义求出每一个随机变量取值下对应的概率．在列出随机变量的分布列，并利用分布列求出其期望．
【解析】
（I）由题意记”答对A，B，甲，乙各题分别为事件A，B，C，D，
则P（A）=，P（B）=，P（C）=P（D）=，
由题意及事件之间为独立事件，故该学生被公司聘用的概率为：P（A•B）[1-P（）P（）]=××（1-× ）=；
（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=P（）=×=，
P（ξ=1）=P（B+A）=×+×=，
P（ξ=2）=P（AB）P（）=×××=，
P（ξ=3）=P（AB）P（C+D）=××2×=，
P（ξ=4）=P（AB）P（CD）=×××=，
∴ξ的分布列为

ξ 1 2 3 4
P

∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=1