Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）如果点E是B₁C₁的中点，求证：平面A₁BE⊥平面BCC₁B₁．

Answer

（1）证明A1B∥平面ADC1，利用线面平行的判定，只需证明A1B∥OD即可
（2）证明平面A1BE⊥平面BCC1B1，利用面面垂直的判定，证明A1E⊥平面BCC1B1即可．
证明：（1）连接A1C交AC1于点O，连接OD
在△A1BC中，∵点D是BC的中点，O是A1C的中点
∴A1B∥OD
∵OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1；
∴A1B∥平面ADC1；
（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥平面ABC
∴C1C⊥AD
在△ABC中，AD⊥BC
∵BC∩C1C=C
∴AD⊥平面BCC1B1
连接DE，∵E是B1C1的中点
∴四边形B1BDE为平行四边形
∴B1B∥ED，B1B=ED
∵B1B∥A1A，B1B=A1A
∴ED∥A1A，ED=A1A
∴四边形A1ADE为平行四边形
∴A1E∥AD
∴A1E⊥平面BCC1B1
∵A1E⊂平面A1BE
∴平面A1BE⊥平面BCC1B1．