Question

函数f（x）=sinⁿx+cosⁿx（n∈N^*，n≠2，x∈R）的最小正周期为    ．

Answer

（1）当 n=2k-1，k∈N*时，f（x+2π）=f（x），证明2π 是 f（x）的最小正周期；
（2）当n是大于2的偶数时，分析证明f（x）的最小正周期是．
【解析】
∵f（x）=sinnx+cosnx（n∈N*，n≠2，x∈R）
∴（1）当 n=2k-1，k∈N*时，f（x+2π）=f（x），
∴2π 是 f（x） 的一个周期．
令 f（x）=0，可得tannx=-1，即tanx=-1．
解得x=+kπ，k∈N*，下面证明2π 是 f（x）的最小正周期：
①当 T1∈（0，2π）且T1≠π是其周期，
取 x1=-T1．
则 f（x1）≠0，f（x1+T1）=0．
所以T1不是f（x） 的周期．
②当T2=π 时，
取x2=0．
则 f（x2）=1，f（x2+T2）=-1．
所以T2不是f（x）的周期．
综上，当 n=2k-1，k∈N*时，
f（x）的最小正周期是 2π．
（2）当n=2k+2，k∈N*时，f（x+）=f（x），
∴是f（x）的一个周期．
当T3∈（0，）是其周期时，
取x3=-T3．
则 sinx3，cosx3∈（0，1）．
所以＜，
＜．
所以 f（x3）＜1．
这与f（x3+T3）=1矛盾，
∴T3不是f（x）的周期．
综上，当n=2k+2，k∈N*时，
f（x）的最小正周期是．
综上，当n是奇数时，f（x）的最小正周期是2π；
当n是大于2的偶数时，f（x）的最小正周期是．
故答案为：n为奇数时，2π；n为偶数时，．