Question

若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：
①X∈M、∅∈M；
②对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，有A∪B∈M；
③对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，A∩B∈M；
则称M是集合X的一个“M-集合类”．
例如：M={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合X={a，b，c}的一个“M-集合类”．已知集合X={a，b，c}，则所有含{b，c}的“M-集合类”的个数为    ．

Answer

根据新定义以集合为元素组成集合，由②③可知M-集合类集合至少含有三个元素：∅，{b，c}，{a，b，c}，然后再研究其它几个元素的添加方式有多少个，可分添加元素的个数分为0，1，2，3，4，5共六类进行讨论得出结论
解依题意知，M中至少含有这几个元素：∅，{b，c}，{a，b，c}，将它看成一个整体；
剩余的{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}共5个，{a，b}和{b}必须同时在M中，{a，c}和{c}必须同时在M中；
①{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加0个的集合为{∅，{b，c}，{a，b，c}}，一种
②{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加1个的集合为{∅，{a}，{b，c}，{a，b，c}}，{∅、{b}，{b，c}，{a，b，c}}，{∅、{c}，{b，c}，{a，b，c}}，共三种
③{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加2个的集合共3种即{b}、{c}；{c}、{a，c}；{b}、{a，b}三种添加方式
④{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加3个的集合共2种，即：{b}、{c}、{a，c}；④{a}、{b}、{a，b}二种
⑤{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加4个的集合共0种
⑥{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加5个的集合共1种
综上讨论知，共10种
故答案为10