Question

设满足条件P：的数列组成的集合为A，而满足条件Q：的数列组成的集合为B．
（1）判断数列{a_n}：a_n=1-2n和数列{b_n}：是否为集合A或B中的元素？
（2）已知数列，研究{a_n}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；若不是，请说明理由．
（3）已，若{a_n}为集合B中的元素，求满足不等式|2n-a_n|＜60的n的值组成的集合．

Answer

（1）根据an=1-2n，可得，从而可得{an}为集合A中的元素；同理可得bn+bn+2＜2bn+1，故{bn}为集合B中的元素；
（2）计算an+an+2-2an+1=6（n+1-k），分类讨论：当k≤2时，{an}∈A；设[k]为不超过k的最大整数，令n=[k]+1，n+1-k＞0，可得{an}∉A，{an}∉B；
（3）由|2n-an|=|2n-31log2n|＜60，令cn=2n-31log2n，作差，可确定当n≥22时，cn+1＞cn，当n＜21时，cn+1＜cn，由此可得满足不等式|2n-an|＜60的n的值组成的集合．
【解析】
（1）∵an=1-2n
∴an+an+2=（1-2n）+[1-2（n+2）]=-4n-2，2an+1=2[1-2（n+1）]=-4n-2
∴
∴{an}为集合A中的元素，即{an}∈A．…（2分）
，
∴bn+bn+2＜2bn+1
∴{bn}为集合B中的元素，即{bn}∈B．…（4分）
（2）an+an+2-2an+1=（n-k）3+（n+2-k）3-2（n+1-k）3=6（n+1-k），
当k≤2时，an+an+2≥2an+1对n∈N*恒成立，此时，{an}∈A；…（7分）
当k＞2时，令n=1，n+1-k＜0，an+an+2＜2an+1；
设[k]为不超过k的最大整数，令n=[k]+1，n+1-k＞0，an+an+2＞2an+1，此时，{an}∉A，{an}∉B．…（10分）
（3）|2n-an|=|2n-31log2n|＜60，令cn=2n-31log2n，
cn+1-cn=2-31log2＞0，即n＞21.8；
当n≥22时，cn+1＞cn，于是c22＜c23＜…，
当n＜21时，cn+1＜cn，于是c1＞c2＞…＞c22；…（13分）
∵|c4|=|-54|＜60，|c5|≈|-61.9|＞60，|c62|≈|-60.6|＞60，|c63|≈|-59.3|＜60，
|c140|≈58.99＜60，|c141|≈60.7＞60，
∴满足不等式|2n-an|＜60的n的值组成的集合为{c1，c2，c3，c4，c63，c64，…c140}，共82项．…（16分）