Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC，此正方形PABC沿x轴滚动（向左或向右均可），滚动开始时，点P位于原点处，设顶点P（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f（x），x∈R，该函数相邻两个零点之间的距离为m．
（1）写出m的值并求出当0≤x≤m时，点P运动路径的长度l；
（2）写出函数f（x），x∈[4k-2，4k+2]，k∈Z的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：

函数性质	结  论
奇偶性	______
单调性	递增区间	______
	递减区间	______
零点	______

（3）试讨论方程f（x）=a|x|在区间[-8，8]上根的个数及相应实数a的取值范围．

Answer

（1）m即正方形的周长，l由3段圆弧构成，其中2段弧所在圆的半径等于1，1段弧所在圆的半径等于，从而
求得l的值．
（2）用分段函数表示函数f（x）的解析式，由此求出递增区间和递减区间，及函数的零点．
（3）易知直线y=ax恒过原点，函数y=f（x），x∈[-8，8]的图象关于y轴对称，分类讨论直线y=ax在每一段上
与y=f（x）的交点的个数，综合可得结论．
【解析】
（1）m即正方形的周长，m=4，…（2分）
l由3段圆弧构成，其中2段弧所在圆的半径等于1，1段弧所在圆的半径等于，
故l=2[×2π×1]+2π×=（1+）π．…（4分）
（2）函数f（x）=，k∈z．…（7分）

函数性质 结   论
奇偶性 偶函数
单调性 递增区间 [4k，4k+2]，k∈z
递减区间 [4k-2，4k]，k∈z
零点 x=4k，k∈z

…（10分）
（3）（i）易知直线y=ax恒过原点；
当直线y=ax过点（1，1）时，a=1，此时点（2，0）到直线y=x的距离为，
直线y=x与曲线 y=，x∈[1，3]相切．
当x≥3时，y=x恒在曲线y=f（x）之上．
（ii）当直线y=ax与曲线 y=，x∈[5，7]相切时，由点（6，0）到直线y=ax
的距离为，a=，此时点（5，0）到直线 y=x的距离为，
直线y=x与曲线y=，x∈[4，5]相离．
（iii）当直线y=ax与曲线 y=，x∈[4，5]相切时，由点（5，0）到直线 y=ax
的距离为1，a==，此时点（6，0）到直线y=x的距离为＜，
直线y=x与曲线 y=，x∈[5，7]相交于两个点．
（ⅳ）当直线y=ax过点（5，1）时，a=，此时点（5，0）到直线y=x的距离为
＜1，直线y=x与曲线 y=，x∈[4，5]相交于两个点．
点（6，0）到直线y=x的距离为＜，直线y=x与曲线y=，x∈[5，7]相交于两个点．
（ⅴ）当a=0时，直线y=0与曲线y=f（x），x∈[-8，8]有且只有5个交点；
（ⅵ）当a＜0时，直线y=ax与曲线y=f（x），x∈[-8，8]有且只有1个交点；
因为函数y=f（x），x∈[-8，8]的图象关于y轴对称，…（14分）
故综上可知：（1）当a＜0时，方程 f（x）=a|x|只有1实数根；
（2）当a＞时，方程f（x）=a|x|有3个实数根；
（3）当a=，或a=0时，方程f（x）=a|x|有5个实数根；
（4）当 0＜a＜或 ＜a＜时，方程f（x）=a|x|有7个实数根；
（5）当a=时，方程f（x）=a|x|有9个实数根；
（6）当a=，方程f（x）=a|x|有2个实数根；
（7）当＜a＜时，方程f（x）=a|x|有11个实数根．…（18分）