Question

如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BD⊥平面CDE．

Answer

（1）欲证GH∥平面CDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证GH与平面CDE内一直线平行，而G是AE，DF的交点，G是AE中点，又H是BE的中点，则GH∥AB，而AB∥CD，则GH∥CD，CD⊂平面CDE，GH⊂平面CDE，满足定理所需条件．
（2）欲证BD⊥平面CDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面CDE内两相交直线垂直，根据平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，则ED⊥平面ABCD，从而ED⊥BD，BD⊥CD，CD∩ED=D，满足定理所需条件．
证明：（1）G是AE，DF的交点，∴G是AE中点，又H是BE的中点，
∴△EAB中，GH∥AB，（3分）∵AB∥CD，∴GH∥CD，
又∵CD⊂平面CDE，GH⊂平面CDE
∴GH∥平面CDE（7分）
（2）平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，
∵ED⊥AD，ED⊂平面ADEF
∴ED⊥平面ABCD，（10分）
∴ED⊥BD，
又∵BD⊥CD，CD∩ED=D
∴BD⊥平面CDE．（14分）