Question

如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积．

Answer

（1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x=2，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；
【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．
（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，由AB=2πr，得r，所以V=πr2h=（900x-x3）；利用求导法，可得x=10时，V取最大值，为；
【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，则圆柱的底面半径为r=，高h=30sinθ，所以V=πr2h=cos2θ=（sinθ-sin3θ），用换元法，令t=sinθ，则V=（t-t3），再由求导法，得t=时，此时BC=10cm时，V取得最大值即可．
【解析】
如图所示，
（1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2（其中0＜x＜30），
∴S=2x=2≤x2+（900-x2）=900，当且仅当x2=900-x2，即x=15时，S取最大值900；
所以，取BC=cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．
【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的 面积为S，则BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜）；
∴S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为900，此时BC=15；
所以，取BC=15时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．
（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，由AB=2=2πr，得r=，
∴V=πr2h=（900x-x3），（其中0＜x＜30）；由V′=（900-3x2）=0，得x=10；
因此V=（900x-x3）在上是增函数，在（10，30）上是减函数；
∴当x=10时，V的最大值为，即取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．
【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，
则圆柱的底面半径为r=，高h=30sinθ，（其中0＜θ＜），
所以V=πr2h=cos2θ=（sinθ-sin3θ），
设t=sinθ，则V=（t-t3），由V′=（1-3t2）=0，得t=，
因此V=（t-t3）在（0，）上是增函数，在（，1）上是减函数；
所以，当t=时，即sinθ=，此时BC=10cm时，V有最大值，为cm3．