Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，且当n＞1时，2a_n=a_n-1+a_n+1恒成立．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，求和．

Answer

（1）将已知的等式左边写为两项之和an+an，移项后，利用此递推式列出等式，将已知的a1=1，a2=2代入，可得出相邻两项之差为定值，进而确定出数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，由首项和公差即可写出等差数列的通项公式；
（2）由（1）得出的等差数列的通项公式列举出数列的各项之和，并利用等差数列的前n项和公式化简，得出Sn的通项，代入中，利用拆项法变形，列举出所求式子的各项，抵消合并后即可得到所求式子的结果．
【解析】
（1）∵当n＞1时，2an=an-1+an+1，且a1=1，a2=2，
∴an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1=2-1=1，
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an=n；
（2）∵Sn=1+2+3+…+n=，
∴==2（-），
∴++…+
=++…+
=2（1-+-+…+-）
=2（1-）．