Question

已知点A（-1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线BM的斜率与直线AM的斜率的差为1．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若过点F（0，0）作直线交轨迹C于P，Q两点，证明以PQ为直径的圆与直线l：y=-1相切．

Answer

（1）设M（x，y），利用直线BM的斜率与直线AM的斜率的差为1，建立方程，即可求得点M的轨迹C的方程；
（2）F（0，0）是抛物线的焦点，直线l：y=-1是抛物线的准线，取PQ的中点N，过P，Q，N分别作直线l的垂线，垂足分别为P1，Q1，N1，证明即可．
（1）【解析】
设M（x，y），则（2分）
∵直线BM的斜率与直线AM的斜率的差为1
∴（3分）
∴（5分）
（2）证明：∵P=1，∴F（0，0）是抛物线的焦点，直线l：y=-1是抛物线的准线，（6分）
取PQ的中点N，过P，Q，N分别作直线l的垂线，垂足分别为P1，Q1，N1（7分）
则|PF|=|PP1|，|QF|=|QQ1|（9分）
∴|PQ|=|PP1|+|QQ1|（10分）
∵N为PQ的中点，且NN1∥PP1∥QQ1，（11分）
所以以PQ为直径的圆与直线l：y=-1相切．（12分）