Question

如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁=2．
（ I）求证：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（Ⅱ）求四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积；
（Ⅲ）求二面角B-C₁C-D的余弦值．

Answer

（I）根据正方形的性质，得到AC⊥BD，结合AA1⊥BD，可得BD⊥平面A1ACC1．再用面面垂直的判定定理，证出平面A1ACC1⊥平面B1BDD1．
（II）过D1作D1H⊥AD于H，在直角梯形AA1D1D中算出D1H=，从而四棱台的高A1A=，由此用棱台的体积公式求出四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积．
（III）设AC与BD交于点O，连接OC1，过点B在平面B1BCC1内作BM⊥C1C于M，连接MD．利用线面垂直的性质与判定，可证出C1C⊥MD，从而∠BMD是二面角B-C1C-D的平面角．然后在Rt△C1OC中算出OM的长，在Rt△BMO中算出BM的长，同理得到DM的长，最后在△BMD中用余弦定理，可得二面角B-C1C-D的余弦值等于．
【解析】
（Ⅰ）∵AA1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴AA1⊥BD．
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵AA1与AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，
∴BD⊥平面A1ACC1．
∵BD⊂平面B1BDD1，
∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1． …（4分）
（Ⅱ）过D1作D1H⊥AD于H，则D1H∥A1A．
∵AA1⊥平面 ABCD，∴D1H⊥平面ABCD．
在Rt△D1DH中，可得，从而A1A=D1H=，
∴四棱台的体积为：．    …（8分）
（Ⅲ）设AC与BD交于点O，连接OC1．
过点B在平面B1BCC1内作BM⊥C1C于M，连接MD．
由（Ⅰ）知BD⊥平面A1ACC1，
∵C1C⊂平面A1ACC1，∴BD⊥C1C．
又∵BM⊥C1C，BM、BD是平面BMD内的相交直线，
∴C1C⊥平面BMD，
∵MD⊂平面BMD，∴C1C⊥MD．
∴∠BMD是二面角B-C1C-D的平面角．
在Rt△C1OC中，可得，从而得到．
在Rt△BMO中，可得，同理可求得．
在△BMD中，由余弦定理得：．
即二面角B-C1C-D的余弦值等于…（12分）