Question

已知数列．
（I）设，证明：数列{b_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）设对一切正整数n均成立，并说明理由．

Answer

（Ⅰ），利用等差数列的定义，即可证明{bn}为等差数列，公差为1，由此可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法及等比数列的求和公式，即可求得结论；
（Ⅲ）根据通项计算前几项，猜测C1最大，再进行证明．
（Ⅰ）证明：∵=，
∴{bn}为等差数列，公差为1．
又b1=0，∴bn=n-1，∴．     …（4分）
（Ⅱ）【解析】
设，则
3．∴．
∴．
∴．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
由已知得，从而求得
猜测C1最大，下证：
∵=，
∴存在k=1，使得Cn≤Ck对一切正整数n均成立．  …（12分）